Vektor adalah besaran yang mempunyai besar dan arah.
Secara geometris vector digambarkan
sebagai segmen garis terarah atau panah-panah di ruang-3. Arah panah menyatakan
arah vector dan panjang panah menyatakan
panjangnya. Ekor panah dinamakan titik awal(initial point) dan ujung panah
menyatakan titik akhir(terminal point).
Contoh :
Titik awal vector u adalah A dan titik akhirnya adalah B,
maka vector u dapat ditulis: AB
Dua vektor u dan v disebut
sama jika hanya jika kedua vector tersebut mempunyai panjang dan arah
yang sama. Vektor yang tidak mempunyai panjang disebut vector nol (zero vector)
ditulis: 0
Sifat: 0 + u = u + 0
Jika u adalah
sembarang vector tak nol, maka –u adalah
negative u didefinisikan sebagai
vector yang mempunyai panjang sama dengan u tetapi arahnya berlawanan.
Sifat: u+ (-u) = 0
Jika u dan
v adalah sembarang dua vector, maka
jumlah u + v adalah vector yang ditentukan sebagai
berikut. Tempatkan v sehingga titik
awalnya berimpit dengan titik akhir u. vector u + v dinyatakan oleh panah dari
titik awal uterhadap titik akhir v. Pengurangan
v dari u didefinisikan oleh: u–v = u + (-v). Jika u adalah sembarang vector dan k adalah bilangan riil yang tak nol, maka
hasil kali ku didefinisikan sebagai vector yang panjangnya ǀkǀ kali panjang u dan arahnya sama dengan ujika k > 0 dan
berlawanan dengan ujika k < 0.
Seperti
halnya vector dalam bidang dapat digambarkan oleh pasangan bilangan riil, maka
vector di ruang 3 dapat digambarkan oleh tripel bilangan real. Jika vector v dilokasikan sedemikian sehingga titik
awalnya berada pada titik awal koordinat siku-siku, maka koordinat titik akhir
vector v disebut komponen-komponen v dan
ditulis sebagai v= (v1,v2,v3)
Misal u= (u1,u2,u3) dan v= (v1,v2,v3) adalah vector di ruang
3, maka:
1. u = v jika hanya
jika u1 = v1, u2 = v2dan u3 = v3
2. u + v= (u1,u2,u3) +
(v1,v2,v3) = (u1+v1, u2+v2, u3+v3)
3. ku = (ku1,ku2,ku3)
4. u – v= (u1-v1, u2-v2, u3–v3)
Contoh: u= (1,-3,2), v= (4,2,1), maka:
u + v = (1,-3,2) + (4,2,1) = (1+4,-3+2,2+1) = (5,-1,3)
Jika suatu vector titik awalnya tidak dititik asal koordinat, misal vector AB dengan titik awal A (x1,y1) dan titik
akhir B (x2,y2) , maka:
AB = OB - OA = (x2,y2) - (x1,y1) = (x2-x1, y2- y1)
Dengan cara yang sama, untuk vector di ruang 3, jika
A(x1,y1,z1) dan B(x2,y2,z2), maka:
AB = OB - OA = (x2,y2,z2) - (x1,y1,z1) = (x2- x1,y2-
y1,z2– z1)
Contoh:
Vector AB adalah
vector dengan titik awal A = (2,-1,4) dan titik akhir B = (7,5,-8), maka:
AB
= (7,5,-8) - (2,-1,4) = (5,6,-12).Besar Vektor Dalam Ruang
Perhatikan OL dan OP
=
•
OL² = a² + b²
OP²
= OL² + c²
OP²
= [a² + b²] + c²
Maka : OP = √a² + b² + c²
Contoh :
r = 5i + 8j +1k
Maka |r| = √a² + b² + c²
= √5² + 8² + 10²
= √25 + 64 + 100
= √189 atau = 13,74
Sumber :
